Question

已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式(1+

1

n

)n+a≤e對(duì)任意的n∈N^*都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．求a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞）求f′（x）判斷f′（x）正負(fù)②由于f′（x）比較復(fù)雜令分子為g（x）判斷g（x）單調(diào)性從而判斷函數(shù)值正負(fù)③再令h（x）=g′（x），可求當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0．
（Ⅱ）借用（Ⅰ）結(jié)論將題設(shè)中不等式變形即可求出a最大值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞），f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

．
設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則g'（x）=2ln（1+x）-2x．
令h（x）=2ln（1+x）-2x，則h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
所以h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0（x≠0），
函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)．
于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0．
所以，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（-1，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（Ⅱ）不等式(1+

1

n

)n+a≤e等價(jià)于不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1．
由1+

1

n

＞1知，a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n．
設(shè)G(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，
則G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

．
由（Ⅰ）知，ln2(1+x)-

x2

1+x

≤0，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以G'（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上為減函數(shù)．
故函數(shù)G（x）在（0，1]上的最小值為G(1)=

1

ln2

-1．
所以a的最大值為

1

ln2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題由于導(dǎo)函數(shù)過(guò)于復(fù)雜方法中多次求導(dǎo)