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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0b＞0)的離心率為
1
2
，點F1，F2分別是橢圓C的左，右焦點，以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線 x-y+
6
=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點F2的直線l與橢圓C相交于點M，N兩點，求使△Fl MN面積最大時直線l的方程．
（I）由題意得
e=
c
a
=
1
2
b=
6
1+1
a2=b2+c2
，解得
a=2
b=
3
c=1
，
所以橢圓C的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）由題意可設直線l的方程為x=my+1，設M（x1，y1），N（x2，y2），則點M、N的坐標是方程組
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
的兩組解，
消掉x得，（3m2+4）y2+6my-9=0，所以
△＞0
y1+y2=
-6m
3m2+4
y1y2=
-9
3m2+4
，
所以S△F1MN=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2

=
12
m2+1
3m2+4
=
12
3m2+4
m2+1
=
12
3
m2+1
+
1
m2+1
≤
12
4
=3（當且僅當m=0時取等號），
所以當m=0時，S△ABC取最大值，此時直線l的方程為x=1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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