已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．
分析：根據(jù)已知條件求出橢圓C的方程，再由直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)系橢圓C和直線l的方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系能求出λ的取值范圍．
解答：解：∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，
∴
2b=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
，解得a=
2
，b=c=1，
∴橢圓C：
x2
2
+y2=1，
∵過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立
x2
2
+y2=1
y=k(x-1)
，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞y2，
則x1+x2=
4k2
2k2+1
，x1x2=
2k2-2
2k2+1
，
∴λ=
AP+BQ
PQ
=
2-x1+2-x2
y1-y2

=
4-(x1+x2)
k(x1-1)-k(x2-1)

=
4-
4k2
2k2+1
k
(x1+x2)-4x1x2

=
4-
4k2
2k2+1
k
(
4k2
2k2+1
)2-4×
2k2-2
2k2+1

=
2k2+2
k

=
2+
2
k2
，
∵k≥
3
，
∴當(dāng)k=
3
時(shí)，λmax=
2+
2
3
=
2
6
3
，
當(dāng)k→+∞時(shí)，λmin→
2
，
∴λ的取值范圍是(
2
，
2
6
3
]．
故答案為：(
2
，
2
6
3
]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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