Question

設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx-

3

cosx取得最大值，則cosθ=

-

3

2

．

Answer 1

分析：利用輔助角公式化簡可得f（x）=2sin（x-

π

3

），結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出：當(dāng)x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)有最大值為2．由此得到θ=

5π

6

+2kπ（k∈Z），進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式算出cosθ的值．

解答：解：函數(shù)f(x)=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）
=2（sinxcos

π

3

-

3

2

cos

π

3

）=2sin（x-

π

3

）．
∴當(dāng)x-

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z）時(shí)，即x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)有最大值為2．
又∵當(dāng)x=θ時(shí)，f（x）有最大值，∴θ=

5π

6

+2kπ（k∈Z），
可得cosθ=cos（

5π

6

+2kπ）=cos

5π

6

=cos（π-

π

6

）=-cos

π

6

=-

3

2

．
故答案為：-

3

2

點(diǎn)評：本題已知三角函數(shù)的表達(dá)式，求當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，相應(yīng)的x值．著重考查了三角恒等變換、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用誘導(dǎo)公式求特殊的三角函數(shù)值等知識，屬于中檔題．