Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求出a的值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入f（x）的解析式，求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出x的范圍，寫(xiě)出區(qū)間形式，即得到f（x）在定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的根x=-a，通過(guò)討論根-a與區(qū)間[1，e]的關(guān)系，分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，列出方程，求出a的值．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-

1

x

，其定義域?yàn)椋?，+∞）
f′(x)=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

令f'（x）＞0，得x＞-1，又x∈（0，+∞），
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
（2）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，x∈（0，+∞）
①當(dāng)a≥-1時(shí)，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=-a，
由-a=

3

2

，得a=-

3

2

（舍去）；
②當(dāng)a≤-e時(shí)，f'（x）≤0恒成立，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=1-

a

e

，
由1-

a

e

=

3

2

，得a=-

e

2

（舍去）；
③當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，令f'（x）=0，得x₀=-a．
當(dāng)1＜x＜-a時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上為減函數(shù)；
當(dāng)-a＜x＜e時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）在（-a，e）上為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1，
由ln(-a)+1=

3

2

，得a=-

e

．
綜上所述，a=-

e

．

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需令導(dǎo)函數(shù)大于0求出的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間；解決含參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題常需要對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論．