已知二次函數(shù)f(x)=x2+x的定義域D 恰是不等式 f(-x)+f(x)≤2|x|的解集,其值域?yàn)锳.函數(shù) 數(shù)學(xué)公式的定義域?yàn)閇0,1],值域?yàn)锽.
(1)求f (x) 的定義域D和值域 A;
(2)(理) 試用函數(shù)單調(diào)性的定義解決下列問題:若存在實(shí)數(shù)x0∈(0,1),使得函數(shù) 數(shù)學(xué)公式在[0,x0]上單調(diào)遞減,在[x0,1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)t的取值范圍并用t表示x0
(3)(理) 是否存在實(shí)數(shù)t,使得A⊆B成立?若存在,求實(shí)數(shù)t 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(4)(文) 是否存在負(fù)實(shí)數(shù)t,使得A⊆B成立?若存在,求負(fù)實(shí)數(shù)t 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(5)(文) 若函數(shù)數(shù)學(xué)公式在定義域[0,1]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解:(1)∵f(-x)+f(x)=2x2≤2|x|的解集為為[-1,1]
函數(shù)定義域D=[-1,1]值域 A=
(2)(理)在[0,x0]上任取x1,x2,且x1<x2,則g(x1)>g(x2

∴3t>x12+x22+x1x2≥3x02
同理 由在[x0,1]上單調(diào)遞增得3t≤3x02
所以 3t=3x02由x0∈(0,1)得t∈(0,1)…
(3)(理) 由(2)的單調(diào)性分析同理可得 t 的不同取值,函數(shù)g(x)的單調(diào)性
①當(dāng) t≤0時(shí),函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調(diào)遞增,∴B=[,],
,…
②當(dāng) 0<t<1 時(shí),函數(shù) g(x)的減區(qū)間為:;g(x)的增區(qū)間為:[,1].
g(x)在 x=達(dá)到最小值.此與0<t<1矛盾. …
③當(dāng)t≥1時(shí),函數(shù) g(x) 在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞減,∴B=[]

綜上所述:t的取值范圍是:
(4)(文) 即(3)(理)①
當(dāng) t≤0時(shí),函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調(diào)遞增,∴B=[,],
,
(5)(文) 類比 (2)(理) 得t≥1 …
分析:(1)由f(-x)+f(x)=2x2≤2|x|的解集為為[-1,1]可求函數(shù)定義域D結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求,值域A
(2)(理)在[0,x0]上任取x1,x2,且x1<x2,則g(x1)>g(x2)可得3t>x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0,1]上單調(diào)遞增得3t≤3x02則 3t=3x02由x0∈(0,1)可求t的范圍
(3)(理) 由(2)的單調(diào)性分析同理可得 t 的不同取值,函數(shù)g(x)的單調(diào)性
①當(dāng) t≤0時(shí),函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調(diào)遞增,可求B,進(jìn)而可求t的范圍
②當(dāng) 0<t<1 時(shí),函數(shù) g(x)的減區(qū)間為:;g(x)的增區(qū)間為:[,1].
g(x)在 x=達(dá)到最小值.③當(dāng)t≥1時(shí),函數(shù) g(x) 在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞減可求t的范圍
(4)(文) 即(3)(理) ①當(dāng) t≤0時(shí),函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調(diào)遞增,可求B,進(jìn)而可求t的范圍
(5)(文) 類比 (2)(理)在[0,x0]上任取x1,x2,且x1<x2,則g(x1)>g(x2)可得3t>x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0,1]上單調(diào)遞增得3t≤3x02則 3t=3x02由x0∈(0,1)可求t的范圍
點(diǎn)評:本題主要考查了絕對值不等式的解法,及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求解,函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,解答本題要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理的能力及計(jì)算的能力.
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(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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(1)求a的值;
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