已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍.
解:依定義f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,則(x)=-3x2+2x+t. 由函數(shù)f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上有.(x)≥0. 由(x)≥0得t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立,考慮函數(shù)g(x)=3x2-2x. 由于g(x)的圖象是開口向上的拋物線,對稱軸為x=. 故要使t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立,則須t≥g(-1),即t≥5. 而當(dāng)t≥5時,(x)在(-1,1)上滿足(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù). 故t的取值范圍是t≥5. 分析:本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及運(yùn)用基本函數(shù)的性質(zhì)分析和解決問題的能力. 點評:利用向量的數(shù)量積可以把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)形式,從而運(yùn)用代數(shù)方法——高次求導(dǎo)法、二次判別式法、配方法、均值不等式法求解. |
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