(1)若M是CC1的中點,求異面直線AN與BM所成的角;
(2)若點C關于平面ABM的對稱點恰好在平面ABB1A1上,試確定M點在CC1上的位置.
解:(1)以CB、CA、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),C1(0,0,2),A1(0,2,2),B1(2,0,2),由于N是A1B1的中點,M是CC1的中點,所以M(0,0,1),N(1,1,2).
于是=(1,-1,2), =(-2,0,1),因此cos〈,〉==0,所以異面直線AN與BM所成的角等于90°.
(2)設M(0,0,z)(0
所以P點在平面C1NDC中,
又P點恰好在平面ABB1A1上,
所以P點應該在直線ND上.
由于D(1,1,0),
所以=(1,1,-z),而點H在線段MD上.
所以設=λ·=(λ,λ,-λz),
則=+=(λ,λ,z-λz).
故=2=(2λ,2λ,2z-2λz),
所以P(2λ,2λ,2z-2λz),
于是=(2λ-1,2λ-1,2z-2λz),
而=(0,0,2),
由于P點應該在直線ND上,且DC=DP,
所以
解之,得z=.
所以當點C關于平面ABM的對稱點恰好在平面ABB1A1上時,CM=.
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