(2010•莒縣模擬)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分別是棱CCl、AB中點(diǎn).
(I)求證:CF⊥BB1;
(Ⅱ)求四棱錐A-ECBB1的體積;
(Ⅲ)證明:直線CF∥平面AEBl
分析:(I)要證CF⊥BB1,只需證明BB1⊥平面ABC;由三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱可以得出;
(Ⅱ)要求四棱錐A-ECBB1的體積,需先求底面ECBB1(直角梯形)的面積;四棱錐的高是AC(需證明),再由體積公式可得;
(Ⅲ)判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系,由CF?平面AEB1,可猜想CF∥平面AEB1;要證明線面平行,需證線線平行即可.
解答:解:如圖,
(Ⅰ)證明:∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面ABC;
又∵CF?平面ABC,∴CF⊥BB1
(Ⅱ)解:∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面ABC.
又∵AC?平面ABC,∴AC⊥BB1
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.
且BB1∩BC=B,∴AC⊥平面ECBB1
∴四棱錐 VA-ECBB1的體積為
VA-ECBB1=
1
3
SECBB1•AC

由E是棱CC1的中點(diǎn),∴EC=
1
2
AA1=2

SECBB1=
1
2
(EC+BB1)•BC=
1
2
×(2+4)×2=6

VA-ECBB1=
1
3
SECBB1•AC=
1
3
×6×2=4

(Ⅲ)解:CF∥平面AEB1.現(xiàn)證明如下:
取AB1的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G.∵F、G分別是棱AB、AB1中點(diǎn),
∴FG∥BB1,且 FG=
1
2
BB1
又∵EC∥BB1,且 EC=
1
2
BB1
,∴FG∥EC,且FG=EC.
∴四邊形FGEC是平行四邊形.∴CF∥EG.
又∵CF?平面AEB1,EG?平面AEB1,
∴CF∥平面AEB1
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了空間中的垂直與平行關(guān)系,屬于中檔題.解決辦法都是一些常規(guī)思路:(I)由線面垂直,得線線垂直;(II)說(shuō)明AC是高時(shí),證線面垂直,要先證線線垂直;(III)證明線面平行時(shí),需先證線線平行.所以理清空間中的垂直與平行關(guān)系,是解答本題的關(guān)鍵.
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π
3
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π
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π
4
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