Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意實(shí)數(shù)都有f（x+2）=f（x）；②當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=cos

π

2

x．若關(guān)于x方程f（x）=a在區(qū)間[0，3]上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍為（　　）

• A、（2，3）
• B、（3，4）
• C、（4，5）
• D、（5，6）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)的對稱性以及數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期為2；
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=cos

π

2

x．
作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的圖象如圖，
∵關(guān)于x方程f（x）=a在區(qū)間[0，3]上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，
∴不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
則滿足0＜x₁＜1，x₂，x₃，關(guān)于x=2對稱，即x₂+x₃=4，
則x₁+x₂+x₃=4+x₁，
∵0＜x₁＜1，∴4＜4+x₁＜5，
即x₁+x₂+x₃的取值范圍為（4，5），
故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)的周期性和對稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．