(本題滿分12分) 如圖,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長均為2,P是側(cè)棱AA1上任意一點(diǎn).

(1)求證:B1P不可能與平面ACC1A1垂直;
(2)當(dāng)BC1⊥B1P時(shí),求線段AP的長;
(3)在(2)的條件下,求二面角CB1PC1的大小.
(2) AP="1    " (3) arctan
(1)證明:連結(jié)B1P,假設(shè)B1P⊥平面ACC1A1,

則B1P⊥A1C1.   由于三棱柱ABC—A1B1C1為正三棱柱,
∴AA1⊥A1C1.   ∴A1C1⊥側(cè)面ABB1A1.   ∴A1C1⊥A1B1,   即∠B1A1C1=90°.   
這與△A1B1C1是等邊三角形矛盾.   ∴B1P不可能與平面ACC1A1垂直.
(2)取A1B1的中點(diǎn)D,連結(jié)C1D、BD、BC1,   則C1D⊥A1B1,   又∵AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥C1D.   ∴C1D⊥平面ABB1A1.   ∴BD是BC1在平面ABB1A1上的射影.   
∵BC1⊥B1P.   ∴BD⊥B1P.   ∴∠B1BD=90°-∠BB1P=∠A1B1P.   又A1B1=B1B=2,
∴△BB1D≌△B1A1P,A1P=B1D="1.   " ∴AP=1.
(3)連結(jié)B1C,交BC1于點(diǎn)O,則BC1⊥B1C.   又BC1⊥B1P,   ∴BC1⊥平面B1CP.   過O在平面CPB1上作OE⊥B1P,交B1P于點(diǎn)E,連結(jié)C1E,則B1P⊥C1E,   ∴∠OEC1是二面角C-B1P-C1的平面角.
由于CP=B1P=,O為B1C的中點(diǎn),連結(jié)OP,   ∴PO⊥B1C,OP·OB1=OE·B1P.∴OE=.  
∴tan∠OEC1==.∴∠OEC1=arctan. 故二面角CB1PC1的大小為arctan.
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