Question

2．函數(shù)y=$\frac{{lg\sqrt{x}}}{{lg（10{x^2}）}}$，x∈（10^-2，10⁴）且x≠$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$的值域為（-∞，$\frac{2}{9}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運算法則將函數(shù)進行化簡，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：y=$\frac{{lg\sqrt{x}}}{{lg（10{x^2}）}}$=$\frac{\frac{1}{2}lgx}{lg10+lg{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{lgx}{1+2lgx}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{lgx}{lgx+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{lgx+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$），
設(shè)t=lgx，
∵x∈（10^-2，10⁴），
∴t∈（-2，4），
則y=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{t+\frac{1}{2}}$），則（-2，-$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{2}$，4）上分別單調(diào)遞增遞增，
當(dāng)t∈（-2，-$\frac{1}{2}$）時，y＞$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{-2+\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)t∈（-$\frac{1}{2}$，4）時，y＜$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{\frac{1}{2}}{4+\frac{1}{2}}$）=$\frac{2}{9}$，
即函數(shù)的值域為（-∞，$\frac{2}{9}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞），
故答案為：（-∞，$\frac{2}{9}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用對數(shù)的運算法則以及換元法將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算能力．