Question

設函數f（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²（x∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈（1，+∞）時，用數學歸納法證明：?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

（其中n!=1×2×…×n）．

Answer 1

考點：數學歸納法,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）利用導數求函數的單調區(qū)間，關鍵點有二，一是求對導函數，二是解不等式f′（x）＞0，得到x的范圍，再兼顧函數的定義域，列出當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況表，將能很輕松的解答問題；
（2）本問根據要證明的不等式：?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

．構造出函數設g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，在利用數學歸納法證明出當n∈N^*時有假設n=k時不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，這還要借助于導數來解答．

解答： （1）解：f′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f′（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數y=f（x）的增區(qū)間為（-2，0）和（1，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2）和（0，1）；
（2）證明：設g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，
當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0，當x∈（1，+∞）時，g₁′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函數，
所以g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
當x∈（1，+∞）時，假設n=k時不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，
當n=k+1時，
因為g′_k+1（x）=e^x-1-

(k+1)•xk

(k+1)!

=e^x-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函數．
所以g_k+1（x）＞g_k+1（1）=e⁰-

1

(k+1)!

＞0，
即當n=k+1時，不等式成立．
由歸納原理，知當x∈（1，+∞）時，?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

．

點評：本題是一道好題，利用導數研究函數的性態(tài)是高考�？迹�重點考查的內容，本題還明確要求利用數學歸納法證明不等式，與本例中具體函數的性質結合緊密，這也是高考考題的新穎設計，在解答本題時要仔細領會其中的深意，將對自己的解題能力水平有很大幫助和提高．