Question

設(shè)0＜a≤1，函數(shù)f（x）=x+

a

x

，g（x）=x-lnx，若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則a的取值范圍為（　�。�

• A、（0，1]
• B、（0，e-2]
• C、[e-2，1]
• D、[1-

  1

  e

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可得f（x），g（x）在x∈[1，e]時(shí)單調(diào)遞增，要使對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，只需f（x）_min≥g（x）_max．

解答： 解：由于f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
∵x∈[1，e]，0＜a≤1，∴f'（x）＞0，g'（x）＞0，
即f（x），g（x）在x∈[1，e]時(shí)單調(diào)遞增，
由任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
所以f（x）_min≥g（x）_max，即f（1）≥g（e），
∴1+a≥e-1，∴a≥e-2，又0＜a≤1，得e-2≤a≤1，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．