Question

（2013•廣東）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為

3 2

2

，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當點P（x₀，y₀）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；
（3）當點P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用焦點到直線l：x-y-2=0的距離建立關于變量c的方程，即可解得c，從而得出拋物線C的方程；
（2）先設A(x1，

1

4

x

2 1

)，B(x2，

1

4

x

2 2

)，由（1）得到拋物線C的方程求導數，得到切線PA，PB的斜率，最后利用直線AB的斜率的不同表示形式，即可得出直線AB的方程；
（3）根據拋物線的定義，有|AF|=

1

4

x

2 1

+1，|BF|=

1

4

x

2 2

+1，從而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4y₀，x₀=y₀+2，將它表示成關于y₀的二次函數的形式，從而即可求出|AF|•|BF|的最小值．

解答：解：（1）焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離d=

|-c-2|

2

=

c+2

2

=

3 2

2

，解得c=1
所以拋物線C的方程為x²=4y
（2）設A(x1，

1

4

x

2 1

)，B(x2，

1

4

x

2 2

)
由（1）得拋物線C的方程為y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，所以切線PA，PB的斜率分別為

1

2

x1，

1

2

x2
所以PA：y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)①PB：y-

1

4

x

2 2

=

1

2

x2(x-x2)②
聯(lián)立①②可得點P的坐標為(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，即x0=

x1+x2

2

，y0=

x1x2

4

又因為切線PA的斜率為

1

2

x1=

y0- 1 4 x 2 1

x0-x1

，整理得y0=

1

2

x1x0-

1

4

x

2 1

直線AB的斜率k=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

所以直線AB的方程為y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x0(x-x1)
整理得y=

1

2

x0x-

1

2

x1x0+

1

4

x

2 1

，即y=

1

2

x0x-y0
因為點P（x₀，y₀）為直線l：x-y-2=0上的點，所以x₀-y₀-2=0，即y₀=x₀-2
所以直線AB的方程為y=

1

2

x0x-x0+2
（3）根據拋物線的定義，有|AF|=

1

4

x

2 1

+1，|BF|=

1

4

x

2 2

+1
所以|AF|•|BF|=(

1

4

x

2 1

+1)(

1

4

x

2 2

+1)=

1

16

x

2 1

x

2 2

+

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)+1=

1

16

x

2 1

x

2 2

+

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]+1
由（2）得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4y₀，x₀=y₀+2
所以|AF|•|BF|=

y

2 0

+

1

4

(4

x

2 0

-8y0)+1=

x

2 0

+

y

2 0

-2y0+1=(y0+2)2+

y

2 0

-2y0+1=2

y

2 0

+2y0+5=2(y0+

1

2

)2+

9

2

所以當y0=-

1

2

時，|AF|•|BF|的最小值為

9

2

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的標準方程，考查利用導數研究曲線的切線方程，考查計算能力，有一定的綜合性．