【題目】已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值時x的值.
【答案】當x=3時,函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
【解析】試題分析:先求f(x)值域得函數(shù)定義域,再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系得最大值
試題解析:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9],
∴y=[f(x)]2+f(x2)
=(2+log3x)2+(2+log3x2)
=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.
∵函數(shù)f(x)的定義域為[1,9],
∴要使函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)有意義,必須滿足∴1≤x≤3.
令u=log3x,則0≤u≤1.
又∵函數(shù)y=(u+3)2-3在[-3,+∞)上是增函數(shù),
∴當u=1,即x=3時,函數(shù)y=(u+3)2-3取得最大值13.
故當x=3時,函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
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【題目】直三棱柱中, 分別是的中點, 且,
(1)證明: .
(2)棱上是否存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為若存在,說明點的位置,若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性;
(2)用單調(diào)性的定義證明為上的增函數(shù);
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知圓: 過橢圓: ()的短軸端點, , 分別是圓與橢圓上任意兩點,且線段長度的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點作圓的一條切線交橢圓于, 兩點,求的面積的最大值.
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【題目】(1)已知函數(shù)y=lg(x2+2x+a)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(2a+1)x+1],若f(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)在區(qū)間[-1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實數(shù)m的范圍.
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【題目】已知命題P:函數(shù)是增函數(shù),命題Q:
(1)寫出命題Q的否命題,并求出實數(shù)的取值范圍,使得命題為真命題;
(2)如果是真命題,是假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】學校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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