Question

已知ω＞0，向量

m

=(1，2cosωx)，

n

=(

3

sin2ωx，-cosωx)．設函數(shù)f(x)=

m

•

n

，且f(x)圖象上相鄰的兩條對稱軸的距離是

π

2

．
（I）求ω的值及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算列出f（x）解析式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由f（x）的圖象上相鄰的兩條對稱軸的距離是

π

2

，得到周期為π，進而求出ω的值，確定出函數(shù)解析式，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），即可求出f（x）的遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由第一問確定出的函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)的最小值與最大值，以及相應x的值．

解答：解：（I）∵

m

=（1，2cosωx），

n

=（

3

sin2ωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin2ωx-2cos²ωx=

3

sin2ωx-（1+cos2ωx）=

3

sin2ωx-cos2ωx-1=2sin（2ωx-

π

6

）-1，
∵f（x）的圖象上相鄰的兩條對稱軸的距離是

π

2

，即周期T=π，∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈Z），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）由（I）f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴當2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

時，f（x）取得最小值0；當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）取得最大值1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．