【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,且PA=PD=DA=2,∠BAD=60°
(I)求證:PB⊥AD;
(II)若PB= , 求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.

【答案】
證明:(Ⅰ)取AD的中點(diǎn)E,連接PE,BE,BD.
∵PA=PD=DA,四邊形ABCD為菱形,且∠BAD=60°,
∴△PAD和△ABD為兩個(gè)全等的等邊三角形,
則PE⊥AD,BE⊥AD,∴AD⊥平面PBE,
又PB平面PBE,∴PB⊥AD;
(Ⅱ)解:在△PBE中,由已知得,PE=BE=,PB=,則PB2=PE2+BE2 ,
∴∠PEB=90°,即PE⊥BE,又PE⊥AD,∴PE⊥平面ABCD;
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EA,EB,EP所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則E(0,0,0),C(﹣2,,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,),
=(1,0,),=(﹣1,,0),
由題意可設(shè)平面APD的一個(gè)法向量為=(0,1,0);
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為=(x,y,z),
由 得:
令y=1,則x=,z=﹣1,∴=(,1,﹣1);
=1,∴cos<,>===,
由題意知二面角A﹣PD﹣C的平面角為鈍角,
所以,二面角A﹣PD﹣C的余弦值為﹣

【解析】(Ⅰ)證明:取AD的中點(diǎn)E,連接PE,BE,BD.證明AD⊥平面PBE,然后證明PB⊥AD;
(Ⅱ)以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EA,EB,EP所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,求出平面APD的一個(gè)法向量為=(0,1,0),平面PDC的一個(gè)法向量為 , 利用向量的數(shù)量積求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C.
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