精英家教網如圖，橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點為F，上頂點為A，過點A作直線AF的垂線分別交橢圓、x軸于B，C兩點．
（1）若
AB
=λ
BC
，求實數(shù)λ的值；
（2）設點P為△ACF的外接圓上的任意一點，當△PAB的面積最大時，求點P的坐標．
分析：（1）由已知條件可得F(-1，0)，A(0，
3
)，kAF=
3
．利用兩直線垂直的關系可求直線AB的方程，及C的坐標，聯(lián)立直線AB與橢圓的方程可求B，利用向量的坐標表示可求 λ的值
（2）由已知可得△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．從而可得圓D的方程為（x-1）2+y2=4．AB為定值，要求△PAB的面積最大時，轉化為求點P到直線AC的距離最大．利用圓的知識求解即可
解答：精英家教網解：（1）由條件得F(-1，0)，A(0，
3
)，kAF=
3
．
因為AB⊥AF，
所以kAB=-
3
3
，AB：y=-
3
3
x+
3
．
令y=0，得x=3，
所以點C的坐標為（3，0）．
由
y=-
3
3
x+
3
x2
4
+
y2
3
=1
得13x2-24x=0，解得x1=0（舍）x2=
24
13
．
所以點B的坐標為(
24
13
，
5
3
13
)．
因為
AB
=λ
BC
，所以λ＞0，且λ=
|
AB
|
|
BC
|
=
24
13
3-
24
13
=
8
5
．
（2）因為△ACF是直角三角形，
所以△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．
所以圓D的方程為（x-1）2+y2=4．
因為AB為定值，
所以當△PAB的面積最大時，點P到直線AC的距離最大．
過D作直線AC的垂線m，則點P為直線m與圓D的交點．
直線m：y=
3
(x-1)與（x-1）2+y2=4聯(lián)立得x=2（舍）或x=0，
所以點P的坐標為（0，-
3
）
點評：本題主要考查了橢圓的基本概念，直線垂直關系的應用，向量共線的坐標表示，直線與橢圓的相交關系，及圓的知識的綜合應用，試題的運算較多，考查了運算的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，直線y=kx+b與橢圓
x24
+y2=1交于A，B兩點，記△AOB的面積為S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網[理]如圖，已知動點A，B分別在圖中拋物線y2=4x及橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的實線上運動，若AB∥x軸，點N的坐標為（1，0），則△ABN的周長l的取值范圍是
 
．
[文]點P是曲線y=x2-lnx上任意一點，則P到直線y=x-2的距離的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•楊浦區(qū)二模）如圖，橢圓C1：
x2
4
+y2=1，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A、B，直線MA、MB分別與C1相交與D、E．
①證明：MD•ME=0；
②記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2．若
S1
S2
=λ，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上兩定點P(-2，0)，Q(1，
3
2
)，直線l：y=-
1
2
x+m與橢圓相交于A，B兩點（異于P，Q兩點）
（1）求證：kPA+kQB為定值；
（2）當m∈（-1，2）時，求A、P、B、Q四點圍成的四邊形面積的最大值．

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