Question

定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱(chēng)為橢圓的相似比．已知橢圓C1：

x2

4

+y2=1．
（1）若橢圓C2：

x2

16

+

y2

4

=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）寫(xiě)出與橢圓C₁相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓C_b的方程；若在橢圓C_b上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”M：

x2

a2

+

y2

b2

=1和Mλ：

x2

a2

+

y2

b2

=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，試在橢圓M和橢圓M_λ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F（非橢圓頂點(diǎn)），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形，寫(xiě)出具體作法．（不必證明）

Answer 1

分析：（1）分別求出特征三角形是腰長(zhǎng)為a 和底邊長(zhǎng)為2c，從而得到橢圓的相似比．
（2）設(shè)出橢圓C_b的方程，直線l_MN的方程，根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，求出直線l_MN的方程，根據(jù)直線l_MN與橢圓C_b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，判別式大于零，求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．
（3）作法：過(guò)原點(diǎn)作直線y=kx（k≠1），交橢圓M和橢圓M_λ于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．

解答：解：（1）橢圓C₂與C₁相似． 因?yàn)闄E圓C₂的特征三角形是腰長(zhǎng)為a=4，底邊長(zhǎng)為2c=4

3

的等腰三角形，
而橢圓C₁的特征三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為2

3

的等腰三角形，因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為2．
（2）橢圓C_b的方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1(b＞0)，
設(shè)l_MN：y=-x+t，點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點(diǎn)為（x₀，y₀），
則

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0，則x0=

x1+x2

2

=

4t

5

，y0=

t

5

．
因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線y=x+1上，所以有 

t

5

=

4t

5

+1，t=-

5

3

，即直線l_MN的方程為：lMN：y=-x-

5

3

，
由題意可知，直線l_MN與橢圓C_b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
即方程5x2-8(-

5

3

)x+4[(-

5

3

)2-b2]=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以△=(

40

3

)2-4×5×4×(

25

9

-b2)＞0，即b＞

5

3

．
（3）作法：過(guò)原點(diǎn)作直線y=kx（k≠1），交橢圓M和橢圓M_λ于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，求直線MN的方程是解題的難點(diǎn)．