已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).定義:若對給定的實數(shù)a(a≠0),函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”;若函數(shù)y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對任何a>0,滿足“a積性質(zhì)”.求y=f(x)的表達(dá)式.
分析:(1)先求出 g
-1(x) 的解析式,換元可得g
-1(x+1)的解析式,將此解析式與g(x+1)的作對比,看是否滿足互為反函數(shù).
(2)先求出f
-1(x) 的解析式,再求出 f
-1(x+2)的解析式,再由f(x+2)的解析式,求出f
-1(x+2)的解析式,用兩種方法得到的 f
-1(x+2)的解析式應(yīng)該相同,解方程求得滿足條件的一次函數(shù)f(x)的解析式.
(3)設(shè)點(diǎn)(x
0,y
0)在y=f(ax)圖象上,則(y
0,x
0)在函數(shù)y=f
-1(ax)圖象上,可得 ay
0=f(x
0)=af(ax
0),
f(x0)=f(x),即
f(x)=,即
f(x)=(k≠0) 滿足條件.
解答:解(1)函數(shù)g(x)=x
2+1(x>0)的反函數(shù)是
g-1(x)=(x>1),
∴
g-1(x+1)=(x>0),
而g(x+1)=(x+1)
2+1(x>-1),其反函數(shù)為
y=-1(x>1),
故函數(shù)g(x)=x
2+1(x>0)不滿足“1和性質(zhì)”.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=kx+b(x∈R)滿足“2和性質(zhì)”,k≠0.
∴
f-1(x)=(x∈R),∴
f-1(x+2)=,
而 f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R),得反函數(shù)
y=,
由“2和性質(zhì)”定義可知
= ,對(x∈R)恒成立.
∴k=-1,b∈R,即所求一次函數(shù)f(x)=-x+b(b∈R).
(3)設(shè)a>0,x
0>0,且點(diǎn)(x
0,y
0)在y=f(ax)圖象上,則(y
0,x
0)在函數(shù)y=f
-1(ax)圖象上,
故
,可得 ay
0=f(x
0)=af(ax
0),
令 ax
0=x,則
a=,∴
f(x0)=f(x),即
f(x)=.
綜上所述,
f(x)=(k≠0),此時
f(ax)=,其反函數(shù)是
y=,
而
f-1(ax)=,故y=f(ax)與y=f
-1(ax)互為反函數(shù).
點(diǎn)評:本題考查反函數(shù)的求法,函數(shù)與反函數(shù)的圖象間的關(guān)系,體現(xiàn)了換元的思想,屬于中檔題.