Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線的切線經(jīng)過點，求的方程；

（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)或；(2).

【解析】分析：（1）要求直線的方程，因為直線經(jīng)過點，所以應(yīng)求直線的斜率。應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求斜率。故先設(shè)切點為，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得，所以，因為切線過點，所以用兩點連線的斜率公式可得斜率為，所以，即，整理可得，化簡得，解得或。分兩種情況討論，可求斜率，進而求切線的方程。（2）方程有兩個不相等的實數(shù)根，就是方程有兩個不相等的實數(shù)根，應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點．故應(yīng)求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)性。求導(dǎo)得。因為的正負與的正負有關(guān)。 所以分① ② ③ 三種情況討論。

①當(dāng)時，函數(shù)的解析式變?yōu)?/span>，由二次函數(shù)可知此時函數(shù)只有一個零點。

②當(dāng)時，因為，所以。所以的正負只和的正負有關(guān)。所以由得，由得，進而可得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。所以。因為 ，所以在上由唯一的零點，且該零點在上．再考慮函數(shù)在上零點的個數(shù)。因為。當(dāng)即時，函數(shù)在上有一個零點，所以時，函數(shù)有兩個零點。當(dāng)即時，，所以，取，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，則，所以在上有唯一零點，進而函數(shù)在上有唯一零點。所以函數(shù)有兩個零點．

③當(dāng)時， 。由，得或。

當(dāng)即時， ，所以在定義域上為減函數(shù)，所以函數(shù)至多有一個零點．

當(dāng)即亦即 時，由，。可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又因為

所以至多有一個零點．

當(dāng)即亦即 時，由，。可得在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，又因為，所以至多有一個零點．綜上可得的取值范圍為．

詳解：（1）設(shè)切點為，因為，所以

由斜率知：，即，可得，，

，所以或

當(dāng)時，，切線的方程為，即，

當(dāng)時，，切線的方程為，即

綜上所述，所求切線的方程為或；

（2）由得：，代入整理得：，

設(shè)

則，由題意得函數(shù)有兩個零點．

當(dāng)時，，此時只有一個零點．

當(dāng)時，由得，由得，即在上為減函 數(shù)，

在上為增函數(shù)，而，所以在上由唯一的零點，且該零點在上．

若，則，取，

則，

所以在上有唯一零點，且該零點在上；

若，則，所以在上有唯一零點；

所以，有兩個零點．

③當(dāng)時，由，得或，

若，，所以至多有一個零點．

若，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又

所以至多有一個零點．

若，則，易知在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，又，所以至多有一個零點．

綜上所述：的取值范圍為．