Question

已知函數(shù)（k為常數(shù)，e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與x軸平行。

（1）求k的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中為的導函數(shù)，證明：對任意，。

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求導函數(shù)，由導數(shù)的幾何意義得，列方程求；（2）求的解集和定義域求交集，得單調(diào)遞增區(qū)間；求的解集并和定義域求交集，得單調(diào)遞減區(qū)間，該題，可觀察當時，；時，.所以單調(diào)區(qū)間可求；（3）思路一：考慮的最大值，證明最大值小于即可，但是考慮到解析式的復雜性，可對不等式等價變形；思路二：原不等式等價于

，記，利用導數(shù)可求其最大值為，從圖象可以判斷的圖象在直線的上方，也就是說恒成立，故，所以命題得證.

試題解析：(Ⅰ)由得由于曲線在處的切線與x軸平行，所以，因此

（Ⅱ）由(Ⅰ)得，令當時，；當時，又，所以時，；時，.  因此的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1），單調(diào)遞減區(qū)間

(Ⅲ)證明因為，所以因此對任意等價于  由（Ⅱ）知

所以因此當時，單調(diào)遞增；當時單調(diào)遞增. 所以的最大值為  故 設(shè)因為，所以時，單調(diào)遞增，

故時，即所以因此對任意

考點：1、導數(shù)的幾何意義；2、導數(shù) 在單調(diào)性上的應(yīng)用；3、利用導數(shù)求函數(shù)的最值.