Question

已知函數(shù)（a為常數(shù)）在x=1處的切線的斜率為1．

(1)求實數(shù)a的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

(2)若不等式≥k在區(qū)間上恒成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是;(2).

【解析】

試題分析：(1)先求，利用在處的導(dǎo)數(shù)就是此點處切線斜率，即，算出a,然后確定函數(shù)的定義域，利用的區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間，的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間；(2)將不等式恒成立轉(zhuǎn)化成，利用(1)在的單調(diào)性，判斷出在上的最小值為或，所以分別求出和,然后比較得出最小值.即，此題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，邏輯推理要嚴(yán)謹(jǐn)，此題屬于中檔題.

試題解析：(1)

由題知：即，解得，.

，定義域

，由，得，

當(dāng)時，，此時，，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時，，此時，，在上單調(diào)遞增.

綜上：的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是.

(2)由(1)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

在上的最小值為或

又，且

在上的最小值為

若在上恒成立，則

考點：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.