Question

若不等式x³-mx²+x+m-2≤0在x∈（1，+∞）有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運(yùn)用參數(shù)分離可得，m≥

x3+x-2

x2-1

，令t=x+1（t＞2），則y=

(t-1)2+t+1

t

=t+

2

t

-1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷右邊的單調(diào)性，得到范圍即可．

解答： 解：由于x＞1，則不等式x³-mx²+x+m-2≤0，
即為m≥

x3+x-2

x2-1

=

x2+x+2

x+1

，
令t=x+1（t＞2），則y=

(t-1)2+t+1

t

=t+

2

t

-1，y′=1-

2

t2

＞0，則y在t＞2遞增，即有y＞2，
則不等式在x∈（1，+∞）有解等價(jià)為m＞2．
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式有解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．