設(shè)
(1)若,求及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,問:是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)所有成立?證明你的結(jié)論.
(1);(2)存在,
解析試題分析:(1)由
所以數(shù)列是等差數(shù)列,可先求數(shù)列再求數(shù)列的通項(xiàng)公式;也可以先根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后由數(shù)學(xué)歸納法證明.
(2)利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造函數(shù),
由,然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
解:(1)解法一:
再由題設(shè)條件知
從而是首項(xiàng)為0公差為1的等差數(shù)列,
故=,即
解法二:
可寫為.因此猜想.
下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式:
當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立.
假設(shè)時(shí)結(jié)論成立,即.則
這就是說,當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.
所以
(2)解法一:設(shè),則.
令,即,解得.
下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命:
當(dāng)時(shí),,所以,結(jié)論成立.
假設(shè)時(shí)結(jié)論成立,即
易知在上為減函數(shù),從而
即
再由在上為減函數(shù)得.
故,因此,這就是說,當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.
綜上,符合條件的存在,其中一個(gè)值為.
解法二:設(shè),則
先證: ①
當(dāng)時(shí),結(jié)論明顯成立.
假設(shè)時(shí)結(jié)論成立,即
易知在上為減函數(shù),從而
即這就是說,當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,故①成立.
再證: ②
當(dāng)時(shí),,有,即當(dāng)時(shí)結(jié)論②成立
假設(shè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
在等差數(shù)列中有性質(zhì): (),類比這一性質(zhì),試在等比數(shù)列中寫出一個(gè)結(jié)論: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-30.
(1)求數(shù)列的前三項(xiàng),60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)?
(2)n為何值時(shí),an=0,an>0,an<0?
(3)該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是否存在最值?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和 ;
(3)在(2)的條件下,求使恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{}是等差數(shù)列,其中每一項(xiàng)及公差均不為零,設(shè)=0()是關(guān)于的一組方程.
(1)求所有這些方程的公共根;
(2)設(shè)這些方程的另一個(gè)根為,求證,,,…, ,…也成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在正項(xiàng)等比數(shù)列中,公比,且和的等比中項(xiàng)是.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,判斷數(shù)列的前項(xiàng)和是否存在最大值,若存在,求出使最大時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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