設(shè)函數(shù)f(x)=clnx+
12
x2+bx(b,c∈R,c≠0),且x=1為f(x)
的極值點(diǎn).
(I)若函數(shù)f(x)在x=2的切線平行于3x-4y+4=0,求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)若f(x)=0恰有兩解,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),利用x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),函數(shù)f(x)在x=2的切線平行于3x-4y+4=0,可得f′(1)=0,f′(2)=
3
4
,從而可求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)f′(x)=
x2+bx+c
x
=
x2+(-c-1)x+c
x
=
(x-1)(x-c)
x
(x>0),分類討論:①若c<0,則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)=0恰有兩解,則f(1)<0;②若0<c<1,則f極大(x)=clnc-c-
c2
2
<0
,f極小(x)=-
1
2
-c<0
;③若c≥1,則f極小(x)=clnc-c-
c2
2
<0
,f極大(x)=-
1
2
-c<0
,由此可確定實(shí)數(shù)c的取值范圍.
解答:解:(I)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=
x2+bx+c
x

∵x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),函數(shù)f(x)在x=2的切線平行于3x-4y+4=0,
∴f′(1)=0,f′(2)=
3
4

1+b+c=0
4+2b+c
2
=
3
4

∴b=-
3
2
,c=
1
2

∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=
1
2
lnx+
1
2
x2-
3
2
x
;
(II)f′(x)=
x2+bx+c
x
=
x2+(-c-1)x+c
x
=
(x-1)(x-c)
x
(x>0)
①若c<0,則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)=0恰有兩解,則f(1)<0,即
1
2
+b<0

-
1
2
<c<0

②若0<c<1,則f極大(x)=f(c)=clnc+
1
2
c2+bc
,f極小(x)=f(1)=
1
2
+b

∵b=-1-c,∴f極大(x)=clnc-c-
c2
2
<0
,f極小(x)=-
1
2
-c<0

∴f(x)=0不可能有兩解
③若c≥1,則f極小(x)=clnc-c-
c2
2
<0
,f極大(x)=-
1
2
-c<0
,∴f(x)=0只有一解
綜上可知,實(shí)數(shù)c的取值范圍為-
1
2
<c<0
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查分類討論思想,解題的關(guān)鍵是正確分類.
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12
x2+bx,且x=1為f(x)
的極值點(diǎn).
(I)若x=1為f(x)的極大值點(diǎn),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(用c表示);
(II)若f(x)=0恰有兩解,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

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(Ⅱ)曲線y=f(x)(其中a>0)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=3x-3,

(ⅰ)若函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)且(x)存在零點(diǎn),求a,b,c的值;

(ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),證明f(x)的極小值小于-

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