Question

14．直線l_n：y=3x-$\sqrt{10n}$與圓C_n：x²+y²=6a_n+n+6交于不同的兩點A_n、B_n，n∈N^*．數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，3a_n+1=$\frac{1}{4}{|{{A_n}{B_n}}|^2}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{{{a_n}+2}}{3}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T．

Answer 1

分析 （1）由題意知：圓心（0，0）到直線的距離$d=\frac{{|{-\sqrt{10n}}|}}{{\sqrt{1+9}}}=\sqrt{n}$，利用弦長公式可得：a_n+1=2a_n+2，變形為a_n+1+2=2（a_n+2），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由題意知：圓心（0，0）到直線的距離$d=\frac{{|{-\sqrt{10n}}|}}{{\sqrt{1+9}}}=\sqrt{n}$，
∴$3{a_{n+1}}=\frac{1}{4}{|{{A_n}{B_n}}|^2}={（\frac{{|{{A_n}{B_n}}|}}{2}）^2}={R^2}-{d^2}=6{a_n}+n+6-n=6{a_n}+6$．
即∴a_n+1=2a_n+2，∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴數(shù)列{a_n+2}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a_n}+2=3×{2^{n-1}}，所以{a_n}=3×{2^{n-1}}-2$．
（2）$\begin{array}{l}{b_n}=\frac{{{a_n}+2}}{3}={2^{n-1}}$，∴{b_n}是首項為1，等比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、直線與圓相交弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．