Question

2．已知：數列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，n∈N^*
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）設b_n=log₃$\frac{3}{{a}_{n}}$，求數列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系即可得出．
（2）b_n=log₃$\frac{3}{{a}_{n}}$=n，$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n•3^n-1．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當n≥2時，數列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，n∈N^*，
a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，
兩式作差得：3^n-1a_n=1，∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．
當n=1時，a₁=1也滿足上式．∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$（n∈N^*）．
（2）b_n=log₃$\frac{3}{{a}_{n}}$=n，
$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n•3^n-1．
數列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，
3S_n=3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
∴-2S_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{n}{2}×{3}^{n}$-$\frac{1}{4}×{3}^{n}$+$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．