Question

設(shè)不等式組

x≥1 x-2y+3≥0 y≥x

所表示的平面區(qū)域是Ω₁，平面區(qū)域是Ω₂與Ω₁關(guān)于直線(xiàn)3x-4y-9=0對(duì)稱(chēng)，對(duì)于Ω₁中的任一點(diǎn)A與Ω₂中的任一點(diǎn)B，AB的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知的約束條件

x≥1 x-2y+3≥0 y≥x

畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域Ω₁，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，不難得到：當(dāng)A點(diǎn)距對(duì)稱(chēng)軸的距離最近時(shí)，|AB|有最小值．

解答：解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域Ω₁，（陰影部分CDE），
∵平面區(qū)域是Ω₂與Ω₁關(guān)于直線(xiàn)3x-4y-9=0對(duì)稱(chēng)，
∴要使AB的距離最小，則只需點(diǎn)A到直線(xiàn)3x-4y-9=0的距離最小即可，
由圖象可知當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)E時(shí)，A到直線(xiàn)3x-4y-9=0的距離最小，
由

x=1 y=x

，解得

x=1 y=1

，即E（1，1），
此時(shí)E到直線(xiàn)3x-4y-9=0的距離d=

|3-4-9|

32+42

=

10

5

=2，
∴AB的最小值為2d=2×2=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：利用線(xiàn)性規(guī)劃解平面上任意兩點(diǎn)的距離的最值，關(guān)鍵是要根據(jù)已知的約束條件，畫(huà)出滿(mǎn)足約束約束條件的可行域，再去分析圖形，根據(jù)圖形的性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入計(jì)算，即可求解．