Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

2

+y2=1的左、右焦點，點A是上頂點．
（1）求圓C：（x+1）²+（y+2）²=1關(guān)于直線AF₂對稱的圓C'的方程；
（2）橢圓上有兩點M、N，若M、N滿足

OM

+

ON

=

0

，

MF1

•

F1F2

=0（點M在x軸上方），問：圓C'上是否存在一點Q，使MQ⊥NQ？若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求直線AF₂的方程，再求圓C：（x+1）²+（y+2）²=1的圓心坐標關(guān)于直線AF₂對稱的點的坐標，即可得到圓C：（x+1）²+（y+2）²=1關(guān)于直線AF₂對稱的圓C'的方程；
（2）先求M，N的坐標，再假設(shè)假設(shè)圓C'上存在一點Q，使MQ⊥NQ，通過計算，引出矛盾，從而問題得解．

解答：解：（1）∵F₁、F₂是橢圓

x2

2

+y2=1的左、右焦點，點A是上頂點
∴F₂（1，0），A（0，1）
∴直線AF₂的方程為x+y-1=0
圓C：（x+1）²+（y+2）²=1的圓心坐標為C（-1，-2）
設(shè)C（-1，-2）關(guān)于直線AF₂對稱的點的坐標為（x，y）
∴

y+2 x+1 ×(-1)=-1 x-1 2 + y-2 2 -1=0

∴

x=3 y=2

即C（-1，-2）關(guān)于直線AF₂對稱的點的坐標為（3，2）
∴圓C：（x+1）²+（y+2）²=1關(guān)于直線AF₂對稱的圓C'的方程為（x-3）²+（y-2）²=1；
（2）圓C'上不存在點Q，使MQ⊥NQ．
∵F₁是橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點，
∴F₁（-1，0）
∵橢圓上點M滿足

MF1

•

F1F2

=0（點M在x軸上方），
∴M（-1，

2

2

）
∵橢圓上有兩點M、N，若M、N滿足

OM

+

ON

=

0

∴N（-1，-

2

2

）
假設(shè)圓C'上存在一點Q，使MQ⊥NQ，
∵圓C'的方程為（x-3）²+（y-2）²=1
∴設(shè)Q（3+cosθ，2+sinθ）
∴

MQ

=(4+cosθ，2+sinθ-

2

2

)，

NQ

=(4+cosθ，2+sinθ+

2

2

)
∴

MQ

•

NQ

=(4+cosθ，2+sinθ-

2

2

)• (4+cosθ，2+sinθ+

2

2

)=0
∴(4+cosθ)2+(2+sinθ)2-

1

2

=0
∴2cosθ+sinθ=-

41

8

∴

5

sin(θ+α)=-

41

8

(tanα=2)①
∵

5

sin(θ+α)≥ -

5

，-

41

8

＜-

5

∴①式不成立，即假設(shè)不成立
∴圓C'上不存在點Q，使MQ⊥NQ．

點評：本題以橢圓為載體，考查對稱性，考查圓的方程，考查是否存在問題，解題的關(guān)鍵是利用已知條件，引出矛盾，屬于中檔題．