【題目】已知數(shù)列滿足，，其中常數(shù)．

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：對于任意的，均有；

（Ⅲ）當(dāng)常數(shù)時(shí)，設(shè)，若存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用，得到，然后結(jié)合條件建立不等式，通過分類討論，求解不等式；

（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法，證明結(jié)論成立；

（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法，證明不等式成立，進(jìn)而求出的取值范圍．

解：（Ⅰ）由已知得時(shí)，

∴

∵，∴

若，則，則或．

若，則，則或．

（Ⅱ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)時(shí)，成立

假設(shè)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)

∵，∴

∴

即時(shí)命題也成立

∴對任意的均有．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)時(shí)，成立

假設(shè)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)

∴．

即時(shí)，命題也成立

∴對有

∴

易知不存在使恒成立．

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知

若存在，則對，，對任意，恒成立

而對，則必不存在，否則將推出，矛盾．

∵，∴

∴，

∴

∵，∴

又，∴，∴

故存在使得恒成立

綜上所述，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C滿足．

（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；

（Ⅱ）若點(diǎn)D在線段AC上，且CD＝2DA，，求tanA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，是等邊三角形，，，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)時(shí)，的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)（在軸上方），，點(diǎn)到軸的距離為4.

（1）求拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）是否存在軸上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)有兩條直線，滿足，交拋物線于兩點(diǎn).與拋物線相切于點(diǎn)（不為坐標(biāo)原點(diǎn)），有成立，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形中，AB∥CD，，且．現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，如圖2．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面DBE；

（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面BEC的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，且，在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度）中，曲線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)直線經(jīng)過定點(diǎn)，且與曲線交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求證：不論為何值時(shí)，為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒，某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；②混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份血液全為陰性，因此這k份血液樣本檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份為陽性，若采取逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（i）試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

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