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在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分別是棱AB，BC，CP的中點，AB=AC=1，PA=2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為（　�。�
A．
1
5
B．
2
5
C．
5
5
D．
2
5
5
以A為坐標原點，以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分別是棱AB，BC，CP的中點，
AB=AC=1，PA=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），
D（
1
2
，0，0），E（
1
2
，
1
2
，0），F（0，
1
2
，1），
∴
AP
=（0，0，2），
DE
=（0，
1
2
，0），
DF
=(-
1
2
，
1
2
，1)，
設
n
=(x，y，z)是平面DEF的一個法向量，
則
n
•
DE
=0
n
•
DF
=0
，即
1
2
y=0
-
1
2
x+
1
2
y+z=0
，
取x=1，則
n
=(1，0，
1
2
)，
設PA與平面DEF所成的角為θ，
則 sinθ=|cos＜
AP
，
n
＞|=|
1
2×
1+
1
4
|=
5
5
．
故選：C．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．點E在棱PA上，．
（1）求異面直線PA與CD所成的角；
（2）點E在棱PA上，且
PE
=λ
EA
，當λ為何值時，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的條件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，且∠CPB=30°，則∠PCB=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0）
（Ⅰ）求證：AC⊥BF；
（Ⅱ）若二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是（　�。�
A．
15
5
B．
2
2
C．
10
5
D．0

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=
6
．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O點到平面ACD的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）求直線AB與平面BEF所成的角的正弦值；
（3）線段BD上是否存在點M，使得AM∥平面BEF？若存在，試確定點M的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求二面角A-EB-C的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|的值為(　　)
A．B．2C．4D．12

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