已知點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,.直線,相交于點(diǎn),且它們的斜率之積是,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn),直線,分別交直線于點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求直線與直線的斜率之積的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,記直線與的交點(diǎn)為,試探究點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系,并說明理由.
(1)();(2);(3)點(diǎn)在曲線上.
解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)斜式求直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力.第一問,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),利用斜率公式,求出直線AP、BP的斜率,計(jì)算得到曲線C的方程;第二問,設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式寫出直線AQ的方程,它與x=4交于M,則聯(lián)立得到M點(diǎn)坐標(biāo),同理得到N點(diǎn)坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到后,將Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍代入直接得到所求范圍;第三問,結(jié)合第二問得到直線AN和直線BM的方程,令2個(gè)方程聯(lián)立,得到T點(diǎn)坐標(biāo),通過計(jì)算知T點(diǎn)坐標(biāo)符合曲線C的方程,所以點(diǎn)T在曲線C上.
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),則(且)
所以曲線的方程為(). 4分
(2)法一:設(shè),則直線的方程為,令,則得,直線的方程為,
令,則得, 6分
∵ =
∴,∴ 8分
故
∵ ,∴,
∴,
∴,
∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為 10分
法二:設(shè)直線的斜率為,則由題可得直線的斜率為,
所以直線的方程為,令,則得,
直線的方程為,令,則得,
∴,
∴ 8分
故
∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為 10分
(3)法一:由(2)得,,
則直線的方程為,直線的方程為, 12分
由,解得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知拋物線的焦點(diǎn)為,為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn),交軸的正半軸于點(diǎn),且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí),為正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直線,且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
(。┳C明直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);
(ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與的斜率乘積,動(dòng)點(diǎn)滿足,(其中實(shí)數(shù)為常數(shù)).問是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得?若存在,求的坐標(biāo)及的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,且離心率為.
(1)求橢圓方程;
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求△面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.
(1)求及的值.
(2)如圖,設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn),且,過弦的中點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn),連接.試判斷的面積是否為定值?若是,求出定值;否則,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)< 時(shí),求實(shí)數(shù)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2014·武漢模擬)已知點(diǎn)P是圓M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N(0,m)是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn),線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí),記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過原點(diǎn)斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點(diǎn)C,直線BC交曲線Г于另一點(diǎn)D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對(duì)任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P(2,),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù),求證:直線l過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)是.
(1)點(diǎn)在已知橢圓上,動(dòng)點(diǎn)滿足,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn),求的面積的最大值
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