Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，．

（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，試求的取值范圍；

（2）證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定a的范圍即可；（2）設(shè)h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定義域?yàn)椋?/span>1，+∞），只需證明h（x）≥0即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而證出結(jié)論.

詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由已知得．

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)，因?yàn)?/span>， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，取，顯然且

所以，．

由零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，由，得或．

當(dāng)，則．當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：

		0
		0	－	0
		－1

注意到，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

當(dāng)，則，在單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

若，則．當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：

				0
		0	－	0
				－1

注意到當(dāng)，時(shí)，，，

所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

綜上，的取值范圍是．

（2）證明：．

設(shè)，其定義域?yàn)?/span>，則證明即可．

因?yàn)?/span>，取，則

，且．

又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上單增．

所以有唯一的實(shí)根，且．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)的最小值為．

所以．

所以．