設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+
2a2
x
(a≠0)的圖象上在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l的斜率為2-3a,
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)求證:對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x)≥3-x.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0},再求導(dǎo)f′(x)=
a
x
-
2a2
x2
,從而可得a的值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)-(3-x),求導(dǎo),化恒成立問題為最值問題.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0},f′(x)=
a
x
-
2a2
x2

根據(jù)題意,f'(1)=2-3a,所以a-2a2=2-3a,
即a2-2a+1=0,解得a=1.
(Ⅱ)證明:f(x)=lnx+
2
x

設(shè)g(x)=f(x)-(3-x),
g(x)=lnx+
2
x
+x-3
.g′(x)=
1
x
-
2
x2
+1=
x2+x-2
x2
=
(x-1)(x+2)
x2
(x>0)

當(dāng)x變化時(shí),g'(x),g(x)的變化情況如下表:
x(0,1)1(1,+∞)
g'(x)-0+
g(x)極小值
x=1是g(x)在(0,+∞)上的唯一極值點(diǎn),且是極小值點(diǎn),從而也是g(x)的最小值點(diǎn).
可見g(x)最小值=g(1)=0,
所以g(x)≥0,即f(x)-(3-x)≥0,
所以對于定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有f(x)≥3-x.
點(diǎn)評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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當(dāng)a>b>0時(shí),不等式(a÷
b
)-(b÷
a
)>k(
a
-
b
)恒成立的參數(shù)k的最大值.

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已知x2+y2=4的圓內(nèi)有P與A(-2,0),B(2,0),連接PA、PB,|
PA
|•|
PB
|=|
PO
|2.求
PA
PB
范圍.(運(yùn)用
PA
PB
=|
PA
|•|
PB
|•cosθ求解)

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張大伯出去散步,從家走了20分鐘,到一個(gè)離家900米的閱報(bào)亭,看了10分鐘報(bào)紙后,用了10分鐘返回到家,下面哪個(gè)圖形表示張大伯離家時(shí)間與距離之間的關(guān)系(  )
A、
B、
C、

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若雙曲線C:mx2-y2=1的一條漸近線與直線l:y=-2x-1垂直,則雙曲線C的焦距為
 

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雙曲線16x2-9y2=144的離心率e=(  )
A、
25
16
B、
25
9
C、
5
4
D、
5
3

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函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax+b(ab≠0)的圖象可能是( 。
A、
B、
C、
D、

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如果點(diǎn)P在平面區(qū)域
2x-y+2≥0
x+y-2≤0
2y-1≥0
上,點(diǎn)Q在曲線x2+(y+4)2=1上,那么|PQ|的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程為12x+2y-27=0,且對任意的x∈[0,+∞),f′(x)≤kln(x+1)恒成立.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)F(x)=f′(x)+2ln(x+1)在[0,+∞)上的極值;
(Ⅲ)求實(shí)數(shù)k的最小值.

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