(2006•朝陽(yáng)區(qū)一模)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
(Ⅰ)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式;
(Ⅱ)在XOY平面上,設(shè)點(diǎn)列Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點(diǎn)列Mn在直線C上,Mn中最高點(diǎn)為Mk,若稱直線C與x軸、直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線C在區(qū)間[x3,xk]上的面積;
(Ⅲ)是否存在圓心在直線C上的圓,使得點(diǎn)列Mn中任何一個(gè)點(diǎn)都在該圓內(nèi)部?若存在,求出符合題目條件的半徑最小的圓;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)由2Sn=2
a
2
n
+an-1
①,得2Sn+1=2
a
2
n+1
+an+1-1
②,兩式相減可得遞推式,化簡(jiǎn)后由等差數(shù)列的定義可作出判斷,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可得通項(xiàng)及前n項(xiàng)和;
(Ⅱ)由an=nxnSn=n2yn可得xn,yn,從而得點(diǎn)Mn,消掉參數(shù)n后可得直線C的方程,根據(jù)yn的單調(diào)性可求其最大值,從而得到最高點(diǎn)Mk,從而可得區(qū)間[x3,xk],易判斷圖形形狀,由面積公式可求;
(Ⅲ)先列出直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列MnM1(1,1),M2
3
4
,
5
8
),M3
2
3
1
2
),…,Mn
1
2
+
1
2n
,  
1
4
+
3
4n
),…而
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
,  
lim
n→∞
(
1
4
+
3
4n
)=
1
4
,
可知點(diǎn)列Mn沿直線C無(wú)限接近于極限點(diǎn)M(
1
2
,
1
4
),則以M1M為直徑的圓為滿足條件的最小圓;
解答:(Ⅰ)證明:由已知得2Sn=2
a
2
n
+an-1
①,
2Sn+1=2
a
2
n+1
+an+1-1
②,
②-①得2an+1=2
a
2
n+1
-2
a
2
n
+an+1-an

結(jié)合an>0,得an+1-an=
1
2
,
∴{an}是等差數(shù)列,
又n=1時(shí),2a1=2
a
2
1
+a1-1
,解得a1=1或a1=-
1
2
,∵an>0,∴a1=1,
d=
1
2
,故an=1+
1
2
(n-1)=
1
2
n+
1
2

Sn=n+
1
2
n(n-1)
2
=
1
4
n2+
3
4
n
;
(II)∵an=nxn,Sn=n2yn
xn=
an
n
=
1
2
+
1
2n
,yn=
Sn
n2
=
1
4
+
3
4n
,即得點(diǎn)Mn(
1
2
+
1
2n
,  
1
4
+
3
4n
)
,
設(shè)x=
1
2
+
1
2n
,y=
1
4
+
3
4n
,消去n,得3x-2y-1=0,即直線C的方程為3x-2y-1=0,
y=
1
4
+
3
4n
是n的減函數(shù),∴M1為Mn中的最高點(diǎn),且M1(1,1),
又M3的坐標(biāo)為(
2
3
,
1
2
),∴C與x軸、直線x=
2
3
、x=1
圍成的圖形為直角梯形,
從而直線C在[
2
3
,1]上的面積為S=
1
2
×(
1
2
+1)×(1-
2
3
)=
1
4
;
(III)由于直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列Mn依次為M1(1,1),M2
3
4
,
5
8
),M3
2
3
,
1
2
),…,Mn
1
2
+
1
2n
,  
1
4
+
3
4n
),…
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
,  
lim
n→∞
(
1
4
+
3
4n
)=
1
4

因此,點(diǎn)列Mn沿直線C無(wú)限接近于極限點(diǎn)M(
1
2
,
1
4
),
1
2
|M1M|=
1
2
(1-
1
2
)
2
+(1-
1
4
)
2
=
13
8
,M1M的中點(diǎn)為(
3
4
,
5
8
),
∴滿足條件的圓存在,事實(shí)上,圓心為(
3
4
,
5
8
),半徑r≥
13
8
的圓,就能使得Mn中任何一個(gè)點(diǎn)都在該圓的內(nèi)部,其中半徑最小的圓為(x-
3
4
)2+(y-
5
8
)2=
13
64
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及數(shù)列與直線圓的綜合題,考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析理解能力及轉(zhuǎn)化能力.
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(2006•朝陽(yáng)區(qū)一模)已知向量
a
=(2,3),
b
=(1,2),且(
a
b
)⊥(
a
-
b
)
,則λ等于( 。

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5-i
5-i

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ax
x2+b
,在x=1處取得極值為2.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若P(x0,y0)為f(x)=
ax
x2+b
圖象上的任意一點(diǎn),直線l與f(x)=
ax
x2+b
的圖象相切于點(diǎn)P,求直線l的斜率的取值范圍.

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(2006•朝陽(yáng)區(qū)一模)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+cx(a,c∈R),當(dāng)x=1時(shí),f(x)取極小值-
2
3

(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若x1,x2∈[-1,1]時(shí),求證:|f(x1)-f(x2)|≤
4
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2006•朝陽(yáng)區(qū)一模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,一條準(zhǔn)線的方程是x=1,過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,且方向向量為
a
=(1,1)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M.
(Ⅰ)求直線OM的斜率(用a、b表示);
(Ⅱ)直線AB與OM的夾角為α,當(dāng)tanα=2時(shí),求橢圓的方程;
(Ⅲ)當(dāng)A、B兩點(diǎn)分別位于第一、三象限時(shí),求橢圓短軸長(zhǎng)的取值范圍.

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