Question

已知f(x)=

x

4x+1

，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=1，an+1=f(an)(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

2n

an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2012的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）an+1=f(an)=

an

4an+1

，

1

an+1

=4+

1

an

，

1

an+1

-

1

an

=4．故數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）Sn=21+5×22+9×23+…+(4n-3)•2n，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出Sn=(4n-7)•2n+1+14．從而能求出使S_n＞2012的最小正整數(shù)n．

解答：解：（Ⅰ）an+1=f(an)=

an

4an+1

，

1

an+1

=4+

1

an

，

1

an+1

-

1

an

=4．
數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．…（3分）

1

an

=1+4(n-1)，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1

4n-3

．…（6分）
（Ⅱ）Sn=21+5×22+9×23+…+(4n-3)•2n．…①
2Sn=22+5×23+9×24+…+(4n-3)•2n+1．…②
②-①并化簡得Sn=(4n-7)•2n+1+14．…（10分）
易見S_n為n的增函數(shù)，S_n＞2012，
即（4n-7）•2ⁿ⁺¹＞1998．
滿足此式的最小正整數(shù)n=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．