Question

已知函數(shù)f(x)=

3-x

4x+1

．
（1）求f（x）的定義域與值域（用區(qū)間表示） （2）求證f（x）在(-

1

4

，+∞)上遞減．

Answer 1

分析：求定義域時要滿足分母不能是0，即4x+1≠0
求函數(shù)f（x）的值域用分離常數(shù)法，想辦法把分子上的x消掉，即，

3-4x

4x+1

=

1

4

×

12-4x

4x+1

=

1

4

×

-(4x+1)+13

4x+1

=-

1

4

+

13

4(4x+1)

證明一個函數(shù)遞減時可用定義法來證．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則4x+1≠0，解得x≠-

1

4

．（2分）
所以原函數(shù)的定義域是（-∞，-

1

4

）∪（-

1

4

，+∞）（3分）y=

3-x

4x+1

=

1

4

×

12-4x

4x+1

=

1

4

×

-(4x+1)+13

4x+1

=-

1

4

+

13

4(4x+1)

≠-

1

4

+0=-

1

4

，（5分）
所以值域為（-∞，-

1

4

）∪（-

1

4

，+∞）．（6分）
（2）在區(qū)間(-

1

4

，+∞)上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

3-x1

4x1+1

-

3-x2

4x2+1

=

13(x2-x1)

(4x1+1)(4x2+1)

（8分）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0（9分）
又x1，x2∈(-

1

4

，+∞)，∴4x₁+1＞0，4x₂+1＞0，（10分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂），（11分）
∴函數(shù)f（x）在(-

1

4

，+∞)上遞減．（12分）

點評：函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性是考查的重點內(nèi)容，尤其是證明函數(shù)單調(diào)性的定義法要掌握．