Question

【題目】函數(shù)

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：

Answer 1

【答案】(1) 時(shí)， 在上單減，在上單增； 時(shí)， 在上單減，在和上單增; 時(shí)， 在上單增;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1) ，分類(lèi)討論，研究的符號(hào)情況，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且， 、是的二根 ，若證成立，只需證對(duì)恒成立.設(shè)，研究其最值即可.

試題解析：

解： 的定義域是,

(1)由題設(shè)知，

令，這是開(kāi)口向上，以為對(duì)稱軸的拋物線．

在時(shí)，當(dāng)，即時(shí)， ，即在上恒成立．

②當(dāng)，即時(shí)，由得

令，

則，

1) 當(dāng)即，即時(shí)，

時(shí)， ，即, 時(shí)， ，即

2) 當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)

時(shí)， ，即

或時(shí)， ，即

綜上:

時(shí)， 在上單減，在上單增；

時(shí)， 在上單減，在和上單增; 時(shí)， 在上單增．

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且

則必是，則，則，

且在上單減，在和上單增，

則

、是的二根

，即，

若證成立，只需證

即證對(duì)恒成立

設(shè)

當(dāng)時(shí)， ， ，

故,故在上單增

故

對(duì)恒成立