Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n（n∈N*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2ⁿ-1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法，可得數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2ⁿ-1，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，可得數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（I）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n（n∈N*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²+2（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
∵n=1時(shí)，2n+1=3，
故a_n=2n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和U_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$，
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2ⁿ-1（n∈N*）．
∴當(dāng)n=1時(shí)，T₁=b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，T _n-1=2^n-1-1，
b_n=T_n-T_n-1=2^n-1，
∵n=1時(shí)，2^n-1=1，
故b_n=2^n-1，
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和V_n=3•2⁰+5•2¹+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，
2V_n=3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
兩式相減得：-V_n=3+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）2ⁿ+1
∴V_n=（2n-1）2ⁿ+1

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列求和，數(shù)列通項(xiàng)公式，是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度中檔．