【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面、E為的中點(diǎn)，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)F，連結(jié)，，先證四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）如圖，取中點(diǎn)F，連結(jié)，.

因?yàn)?/span>E為中點(diǎn)，，所以，.

又因?yàn)?/span>，，所以，，

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）取中點(diǎn)O，連結(jié)，.

因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>，，

所以四邊形為平行四邊形.

因?yàn)?/span>，所以.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即令，則，

顯然，平面的一個(gè)法向量為，

則即令，則，

所以.

由題知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，是橢圓：上的三點(diǎn)，其中的坐標(biāo)為，過橢圓的中心，且橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求面積；

（3）設(shè)直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，，且線段的中垂線過橢圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，是邊長為的正方形．且，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）的周期為，圖象的一個(gè)對稱中心為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）求證：存在，使得，，能按照某種順序成等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱柱中，平面，，點(diǎn)、分別在棱、上，且，，，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)，則a的值為______，若直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)且垂直于線段，則雙曲線C的方程為________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長為的正方形截去一個(gè)三角形所得的五邊形，其中，如圖所示.現(xiàn)在需要用這塊材料截取矩形鐵皮，使得矩形相鄰兩邊分別落在上，另一頂點(diǎn)落在邊或邊上.設(shè)，矩形的面積為.

（1）試求出矩形鐵皮的面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）試問如何截�。�取何值時(shí)），可使得到的矩形的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的兩焦點(diǎn)與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到Ｆ的距離為.

（I）求橢圓Ｃ的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(II )點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N.

（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程；

（2）求證：|MN|為定值.

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