Question

【題目】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長為的正方形截去一個(gè)三角形所得的五邊形，其中，如圖所示.現(xiàn)在需要用這塊材料截取矩形鐵皮，使得矩形相鄰兩邊分別落在上，另一頂點(diǎn)落在邊或邊上.設(shè)，矩形的面積為.

（1）試求出矩形鐵皮的面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）試問如何截�。�即取何值時(shí)），可使得到的矩形的面積最大？

Answer 1

【答案】（1），定義域（2）先在DE上截取線段，然后過點(diǎn)M作DE的垂線交BA于點(diǎn)P，再過點(diǎn)P作DE的平行線交DC于點(diǎn)N，最后沿MP與PN截鐵皮，所得矩形面積最大.

【解析】

（1）分類討論,當(dāng)點(diǎn)分別落在線段或線段上.根據(jù)矩形面積即可求得關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域.

（2）根據(jù)（1）由分段函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得面積的最大值.求得取最大值時(shí)的值,即可知截取矩形的方式.

（1）依據(jù)題意并結(jié)合圖形,可知：

①當(dāng)點(diǎn)落在線段上

即時(shí),；

②當(dāng)點(diǎn)在線段上,

即時(shí),由,

得.

于是.

所以,

定義域.

（2）由（1）知,當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí),

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

因此,y的最大值為.

答：先在DE上截取線段,然后過點(diǎn)M作DE的垂線交BA于點(diǎn)P,再過點(diǎn)P作DE的平行線交DC于點(diǎn)N,最后沿MP與PN截鐵皮,所得矩形面積最大,最大面積為.