Question

春節(jié)期間，某商場(chǎng)決定從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)．
（1））試求選出的3種商品中至少有一種是家電的概率；
（2）商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用抽獎(jiǎng)方式進(jìn)行促銷，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高100元，規(guī)定購(gòu)買該商品的顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)：若中一次獎(jiǎng)，則獲得數(shù)額為m元的獎(jiǎng)金；若中兩次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為3m元的獎(jiǎng)金；若中3次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為6m元的獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)中獲的概率都是，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)將獎(jiǎng)金數(shù)額m最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利？

Answer 1

解：（1）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品，一共有種不同的選法…（1分），
選出的3種商品中，沒(méi)有家電的選法有種…（2分）
所以，選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為…（4分）
（2）設(shè)顧客三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量ξ，其所有可能的取值為0，m，3m，6m．（單元：元）…（5分）
ξ=0表示顧客在三次抽獎(jiǎng)都沒(méi)有獲獎(jiǎng)，所以…（6分）
同理，…（7分）…（8分）…（9分）
顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是…（12分）（列式（2分），計(jì)算1分）
由，解得m≤75…（13分）
所以故m最高定為75元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利…（14分）．
分析：（1）求互斥事件的概率一般有兩種方法，直接法和間接法，本小題用用間接法比較簡(jiǎn)便．事件“至少有一種是家電”的對(duì)立事件是“商品中沒(méi)有家電”，用公式P（A）=1-P（），即運(yùn)用逆向思維計(jì)算．
（2）欲求m的值，需要先求獎(jiǎng)金總額的期望值，要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的期望，以及運(yùn)用互斥事件求概率的方法，同時(shí)考查期望的求法．屬于中檔題．