Question

稱一個(gè)函數(shù)是“好函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)其滿足：（1）定義在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a），（b，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，b）上單調(diào)遞減，則以下函數(shù)是好函數(shù)的有

②③

（填寫函數(shù)編號(hào)）
①y=|x-2|；
②y=x|x-2|；
③y=x³-3x+1；
④y=x³+x+3．

Answer 1

分析：①和②可討論x去絕對(duì)值，然后根據(jù)二次函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，③和④都是多項(xiàng)式函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)“好函數(shù)”的定義進(jìn)行判定即可．

解答：解：①中函數(shù)y=|x-2|定義域?yàn)镽，y=|x-2|=

x -2，x＞2 2-x ，x≤2

∴不存在a，使y=|x-2|在（-∞，a）上單調(diào)遞增，故不正確；
②中函數(shù)y=x|x-2|定義域?yàn)镽，y=x|x-2|=

x2-2x，x＞2 2x-x2，x≤2

∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，滿足好函數(shù)的定義，故正確；
③中函數(shù)y=x³-x+1定義域?yàn)镽，則y′=3x²-1＜0解得x∈（-

3

3

，

3

3

），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，-

3

3

）∪（

3

3

，+∞），
∴y=x³-x+1在（-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-

3

3

，

3

3

）上單調(diào)遞減，滿足好函數(shù)的定義，故正確；
④中函數(shù)y=x³+x+3定義域?yàn)镽，則y′=3x²+1＞0恒成立
故不存在a＜b，使函數(shù)y=x³+x+3在（a，b）上單調(diào)遞減，不滿足好函數(shù)的定義，故不正確；
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及絕對(duì)值函數(shù)的處理方法和新定義，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．