(2010•撫州模擬)稱一個函數(shù)是“好函數(shù)”當且僅當其滿足:(1)定義在R上;(2)存在a<b,使其在(-∞,a)、(b,+∞)上單調(diào)遞增,在(a,b)上單調(diào)遞減.則以下函數(shù)中不是好函數(shù)的是( 。
分析:選項A,可討論x去絕對值,然后根據(jù)二次函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,選項B、C、D都是多項式函數(shù),可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后根據(jù)“好函數(shù)”的定義進行判定即可.
解答:解:選項A,定義域為R,y=x|x-2|=
x2-2x  ,  x>2
2x-x2 , x≤2

∴y=x|x-2|在(-∞,1)、(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,滿足好函數(shù)的定義;
選項B,y=x3-x+1定義域為R,則y′=3x2-1<0解得x∈(-
3
3
,
3
3
),
y′=3x2-1>0解得x∈(-∞,-
3
3
)∪(
3
3
,+∞),
∴y=x3-x+1在(-∞,-
3
3
)、(
3
3
,+∞)上單調(diào)遞增,在(-
3
3
,
3
3
)上單調(diào)遞減,滿足好函數(shù)的定義;
選項C,y=2x3-3x2-6x-1定義域為R,則y′=6x2-6x-6<0解得x∈(
1-
5
2
,
1+
5
2
),
y′=3x2-1>0解得x∈(-∞,
1-
5
2
)∪(
1+
5
2
,+∞),
∴y=2x3-3x2-6x-1在(-∞,
1-
5
2
)、(
1+
5
2
,+∞)上單調(diào)遞增,
在(
1-
5
2
,
1+
5
2
)上單調(diào)遞減,滿足好函數(shù)的定義;
選項D,y=7x4+28x+38定義域為R,則y'=28x3+28<0解得x<-1,y'=28x3+28>0解得x>-1
∴y=7x4+28x+38在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,不滿足好函數(shù)的定義;
故選D.
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及絕對值函數(shù)的處理方法和新定義,同時考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)求最小自然數(shù)k,使得當n≥k時,對任意實數(shù)λ∈[0,1],不等式(2λ-3)bn≥(2λ-4)an+(λ-3)恒成立;
(3)設(shè)dn=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
(n∈N*),求證:當n≥2都有dn2>2(
d2
2
+
d3
3
+…+
dn
n
)

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1
3
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