已知函數(shù)f(x)=lg
2-x2+x

(I)求f(x)的定義域,并判斷其單調(diào)性;
(II)解關(guān)于x的不等式f[x(x-1)]<0.
分析:(I)令對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,解分式不等式求出x的范圍寫出區(qū)間形式即為定義域;將真數(shù)分離常數(shù),利用反比例函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減判斷出函數(shù)的單調(diào)性.
(II)由(I)判斷f(x)是在(-1,1)的減函數(shù),再將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式,即可求得結(jié)論.
解答:解:(I)由題意得 
2-x
2+x
>0解得-2<x<2,
∴函數(shù)f(x)的定義域為{x|-2<x<2}
∵令t=
2-x
2+x
=
4
2+x
-1在(-1,1)遞減
∵y=lgt在定義域上為增函數(shù)
f(x)=lg
2-x
2+x
在(-1,1)遞減;
(II)由(I)知f(x)=lg
2-x
2+x
在(-1,1)遞減,且f(0)=0,
∴原不等式可化為:x(x-1)>0,
解不等式組
x(x-1)>0
-2<x(x-1)<2
得-1<x<0或1<x<2,
∴原不等式的解集為{x|-1<x<0或1<x<2}.
點評:解決判斷函數(shù)的奇偶性,應(yīng)該先求出函數(shù)的定義域,定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性利用其法則:同增異減進行判斷.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

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