Question

已知A，B，C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA）與

n

=（sinA-cosA，1+sinA）共線．
（1）求角A的大��；
（2）求函數(shù)y=2sin2B+cos

C-3B

2

的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知

m

 與

n

共線，利用向量共線的條件及A為銳角整理可得，sinA=

3

2

，從而可求
（2）結(jié)合（1）中的條件可把所求函數(shù)式化簡得，y=sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

+1，利用輔助角公式可得
y=sin2B-

π

6

）+1，結(jié)合題中銳角三角形的條件可求B的范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的值域

解答：解：（1）

m

=(2-2sinA，cosA+sinA)  ，

n

=（sinA-cosA，1+sinA）且

m

與

n

共線，得
（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA-cosA）（cosA+sinA）=0
化簡，得sinA=±

3

2

又△ABC是銳角三角形∴sinA=

3

2

即A=

π

3

（2）由A=

π

3

得B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B
y=2sin²B+cos

C-3B

2

=2sin2B+cos(

π

3

-2B)
=1-cos2B+cos

π

3

cos2B+sin

π

3

sin2B
=1+sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

=sin(2B-

π

6

)+1
∵

π

2

-A＜B＜

π

2

∴

π

6

＜B＜

π

2

∴

π

3

＜2B＜π∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1．故

3

2

 ＜sin(2B-

π

6

)+1≤2
因此函數(shù)y=2sin²B+cos

C-2B

2

的值域?yàn)椋?span id="iipsfik" class="MathJye">

3

2

，2]

點(diǎn)評：本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示，特殊角的三角函數(shù)值，和差角公式的運(yùn)用，正弦函數(shù)的值域的求解等知識，綜合的知識較多，但都是基本方法的考查，要求考生具備扎實(shí)的基本功．熟練的運(yùn)用知識