【題目】已知圓，直線，動圓P與圓M相外切，且與直線l相切.設(shè)動圓圓心P的軌跡為E.

（1）求E的方程；

（2）若點A，B是E上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點，且，求證：直線AB恒過定點.

【答案】（1）； （2）見解析

【解析】

（1）由拋物線定義可知動圓的圓心軌跡為拋物線,根據(jù)焦點及準(zhǔn)線方程可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線AB的方程,聯(lián)立拋物線,化簡后結(jié)合韋達定理,表示出,根據(jù)等量關(guān)系可求得直線方程的截距,即可求得所過定點的坐標(biāo).

（1）由題意動圓P與相切,且與定圓外切

所以動點P到的距離與到直線的距離相等

由拋物線的定義知,點P的軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線

故所求P的軌跡方程E為

（2）證明：設(shè)直線,,,

將直線AB代入到中化簡得,

所以,

又因為

所以

則直線AB為恒過定點

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大��；

（Ⅲ）已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）求證：當(dāng)時，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在邊長為2的菱形中，，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝4cos ωx·sin＋a(ω>0)圖象上最高點的縱坐標(biāo)為2，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.

(1)求a和ω的值；

(2)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設(shè)點是一個動點，若直線的斜率存在，且為中點，，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a∈R，命題p：“x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．

（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）若關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）的解集為{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；

（2）解關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形中（圖1），是的中點，， ，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2）.

圖1 圖2

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求點到平面的距離.

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