Question

設(shè)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，又f（-2）=0，則（x-3）•f（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，又f（-2）=0，求出f（0）=0，f（2）=0，對x＞3，x＜3討論，同時必須結(jié)合函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，得到f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，先求交集，再求并集即可．

解答： 解：∵f（x）是奇函數(shù)，又f（-2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，
∵（x-3）•f（x）＜0，
∴（1）當x＞3時，f（x）＜0，
由于f（2）=0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∴x＞3時，f（x）＜0成立；
（2）當x＜3時，有f（x）＞0，
由于f（x）是R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
又f（2）=0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
①當0＜x＜2時，f（x）＞0，當2＜x＜3時，f（x）＜0，
∴當0＜x＜2時，有（x-3）•f（x）＜0；
②當x＜0時，由奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，
又f（-2）=0，當x＜-2時，f（x）＞0；當-2＜x＜0時，f（x）＜0．
∴當x＜-2時，有（x-3）•f（x）＜0．
綜上可得，（x-3）•f（x）＜0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）∪（3，+∞）．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）∪（3，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查奇函數(shù)的定義以及圖象特征，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．